通勤時間、地下鉄の車内でよく読書しているが、いま読んでいる本の中で「博士が愛した数式」という小説に関するエピソードに出会った。
小川洋子原作、2004年第1回本屋大賞、第55回読売文学賞をそれぞれ受賞し、2006年に映画化もされた小説なので、ご存知の方も多いはず。
私はこの小説を読んだことがないし映画も見ていないが、今日たまたま別の本の中でその概要を知ることができた。
■友愛数
小説のストーリーについては割愛するが、その中に「友愛数」という数学用語が登場する。
鳩山首相とは特に関係なさそうだ。
例えば、220と284が互いに友愛数の関係にあるというらしい。
220の自分以外の約数を全部足すと284。
284の自分以外の約数を全部足すと220。
このような友愛数は60組ほどしか見つかっておらず、何組存在するのかについては「未解決問題」である。
個人的には、なぜ自分自身を除外して加えるのか？という大きな疑問は残るが、まあ堅いことは言わずに読み進めると、今度は「完全数」という用語が登場した。
■完全数
完全数とは、「その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数」のことだそうだ。
文章で書くとわかりにくいが、具体例を見れば小学生でもわかる内容だ。
6の約数は1と2と3と6。
6を除く約数の和は、1+2+3=6。
したがって、「6」は完全数。
28の約数は1と2と4と7と14と28。
28を除く約数の和は、1+2+4+7+14=28。
したがって、「28」は完全数。
完全数にも「未解決問題」が山積している。
１．46個までしか見つかっておらず、無限に見つかるのかどうかは不明。
２．見つかった完全数はすべて偶数で、奇数の完全数が存在するかどうかは不明。
３．見つかった完全数の末尾はどれも6か8で、他の偶数の完全数が存在するかどうかは不明。
なるほど、「フェルマーの最終定理」と同様、数学者にはたまらないテーマかもしれない。
完全数について調べてみると、「メルセンヌ数」という用語に行きつく。
■メルセンヌ数
メルセンヌ数とは「2の冪（べき）よりも 1小さい自然数」のことだ。
つまり、2のn乗－１で表わされる数。
具体的には、1、3、7、15、31、63・・・といった数だ。
実はこれ、コンピュータと深い縁があることがわかった。
それぞれを２進数で表わすと、なるほど、どれも1の連続で表現される数だ。
（左辺10進数）=（右辺2進数）
1 = 1
3 = 11
7 = 111
15 = 1111
31 = 11111
63 = 111111
このようなメルセンヌ数のうち、素数でもあるものを「メルセンヌ素数」と呼ぶそうで、上の例のうちでは3と7と31が該当する。
■メルセンヌ素数
今のところ、メルセンヌ素数は46個しか見つかっておらず、完全数（同じく46個）との関係が注目されている。
なんと、メルセンヌ素数に対して、ある簡単な演算（ここでは省略）を施すと、いずれも完全数になるということがわかっているそうだ。
ちなみに、昔の数学者が18番目のメルセンヌ素数を発見して以降、発見にはコンピュータが使用されていて、コンピュータの進歩と共に新たなメルセンヌ素数が発見されつつあるという。
探究心旺盛なかたは、詳しい解説がウィキペディアに掲載されているので、一読されることをお勧めする。